예전에 통계장론에 나오는 란다우-긴즈버그 모형을 소개한 적이 있습니다. 그때는 그냥 그런 항들이 필요하다... 정도로만 썼고 그에 대한 논의는 차원분석에 관한 글에
서 한 적이 있지요. 오늘은 아미트(D.J. Amit)의 <장론, 되틀맞춤무리, 임계현상(Field Theory, the
Renormalization Group and Critical Phenomena)>이라는 책을 참고하여 이징
모형(Ising model)에서 바로 란다우-긴즈버그 모형의 범함수 적분(functional integral) 형태를 유도하는
걸 써보려고 합니다.
이징 모형에서 시작합시다. 스핀들의 상태를 {si}라고 하면 에너지는 다음과 같습니다.
$$E\{s_i\}=-\sum_{i,j}J_{ij}s_is_j-\sum_ih_is_i$$
그럼 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.
$$Z\{H_i\}=\sum_{\{s_i\}}\exp[-\beta E\{s_i\}]=\sum_{\{s_i\}}\exp\left[K_{ij}s_is_j+\sum_iH_is_i\right]$$
J, h들에 β를 곱한 걸 각각 K, H로 다시 썼습니다. 이제 다음처럼 씌어지는 가우스 변환을 이 분배함수에 적용합니다.
$$\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N dx_i\exp\left(-\frac{1}{4}x_iV_{ij}^{-1}x_j+s_ix_i\right)=const.\times \exp(s_iV_{ij}s_j)$$
하나의 항에 반복되는 아래첨자가 있는 경우 그에 대한 합 기호는 생략되어 있습니다. 이 식은 한 번 유도해보시고요. 여기서 위의 좌변이 발산하지 않으려면 행렬 V의 고유값이 모두 0보다 커야 한다는 조건이 나옵니다. 위 변환의 우변이 분배함수의 지수 안의 첫째 항과 비슷하죠. 그래서 분배함수는 새로운 변수 φ를 도입하여 다음처럼 쓸 수 있습니다.
$$Z\{H_i\}=\sum_{\{s_i\}}\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N d\phi_i\exp\left[-\frac{1}{4}\phi_iK_{ij}^{-1}\phi_j+(\phi_i+H_i)s_i\right]$$
여기서 φ를 모두 φ - H로 바꿔주면,
$$Z\{H_i\}=\int_{-\infty}^\infty \prod_{i=1}^N d\phi_i\exp\left[-\frac{1}{4}(\phi_i-H_i)K_{ij}^{-1}(\phi_j-H_j)\right]\times \sum_{\{s_i\}}\exp(\phi_is_i)$$
이 됩니다. 맨 뒤의 합 부분은 각 si가 +1과 -1의 값을 가지므로 다음처럼 계산됩니다.
$$\sum_{\{s_i\}}\exp(\phi_is_i)=\prod_i 2\cosh\phi_i=const.\times \exp\left[\sum_i\ln(\cosh\phi_i)\right]$$
그런데
$$\ln(\cosh x)\approx \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{12}x^4+\cdots$$
이므로 φ의 제곱, 네제곱 항이 이로부터 나온다는 걸 알 수 있습니다. 또한 위의 분배함수에서 φK-1φ로부터 φ를 공간으로 미분한 항이 나온다고 합니다. 이를 정리하고, 라그랑지안을 아래처럼 정의하면 결과적으로 아래 마지막줄의 란다우-긴즈버그 모형이 유도됩니다.
$$Z=\int \mathcal{D}\phi\exp\left[-\int dx \mathcal{L}[\phi(x)]\right]\\\ \mathcal{L}[\phi(x)]=A_0(\partial\phi)^2+A_1\phi^2+A_2\phi^4+h\phi$$
끝입니다.
